Cherchons d'abord les cycles possibles. Personne ne reçoit de cadeau de lui-même donc il ne peut y avoir de cycle de 1 personne. Il peut y avoir des cycles de 2, de 3. Il ne peut y en avoir de 4 car sinon une personne reste seule. Il peut y avoir un cycle de 5 (tous). On a donc soit un cycle de 5 soit une association de cycles de 2 et 3.
Etudions ce second cas : il y a au maximum deux cycles de 2 (car il n'y a que 5 personnes). En fait, il ne peut pas y avoir deux cycles de 2, car cela représente 4 personnes et la dernière se ferait un cadeau à elle-même. Il y a donc au plus un cycle de 2. De plus, il y a au plus un cycle de 3 (deux cycles ou plus feraient au moins 6 personnes...). On n'a donc pas le choix : il y a exactement un cycle de 2 et un cycle de 3. On a donc deux possibilités : soit un grand cycle de 5, soit un de 2 et un de 3.
Dans le premier cas, si on note A-B-C-D-E ce cycle (qui signifie que A donne un cadeau à B, B à C, ..., E à A), un choix de configuration s'obtient, A étant fixé, en déterminant : qui est B (4 choix), qui est C (3 choix restants à chaque fois) et qui est D (2 choix restants), E étant alors imposé. Il y a donc 4x3x2 = 24 cycles de 5.
Dans le second cas, la configuration est donnée uniquement par le cycle de 3 (le cycle de 2 s'en déduira sans choix). Il faut donc choisir 3 personnes parmi les 5 (soit 5 x 4/2 = 10 possibilités) puis choisir un sens parmi les deux possibles (A-B-C) ou (A-C-B), soit finalement 20 choix.
En tout, il y a donc 44 possibilités !

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